понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего)
значения. Н.
и н. з. ф. по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках называются экстремумами (соответственно максимумами
и минимумами)
функции. Н.
и н. з. ф., заданной на отрезке, могут достигаться либо в точках, где производная равна нулю, либо в точках, где она не существует, либо на концах отрезка. Непрерывная функция, заданная на отрезке, обязательно достигает на нём наибольшего
и наименьшего значений; если же непрерывную функцию рассматривать на интервале (т. е. отрезке с исключенными концами), то среди её значений на этом интервале может не оказаться наибольшего или наименьшего. Например, функция
у =
x, заданная на отрезке [0; 1], достигает наибольшего
и наименьшего значений соответственно при
x = 1
и x = 0 (т. е. на концах отрезка); если же рассматривать эту функцию на интервале (0; 1), то среди её значений на этом интервале нет ни наибольшего, ни наименьшего, так как для каждого
x0 всегда найдётся точка этого интервала, лежащая правее (левее)
x0,
и такая, что значение
функции в этой точке будет больше (соответственно меньше), чем в точке
x0. Аналогичные утверждения справедливы для функций многих переменных. См. также
Экстремум.